Dienes e O Movimento
da Matemática Moderna
Dienes foi nasceu na Hungria, fez os seus estudos primários
e secundários na França, e
passou depois para a Inglaterra, onde Doutorou em Matemática
e em Psicologia.
Ele estava profundamente interessado pelo estudo da formação
de conceitos e os
processos do pensamento abstrato envolvendo principalmente o
ensino da Matemática.
Tomou parte ativa nas reuniões de Royaumont e Dubrovnick,
que desencadearam o
movimento de renovação dos programas de Matemática no ensino
secundário. Porém Dienes
ultrapassa as recomendações e sugere caminhos para a
renovação do ensino da Matemática
Logo nas primeiras idades escolares, e até nas
pré-escolares.
Dienes não propôs uma mudança nos conteúdos dos programas de
ensino, mas sim na
forma com que os professores os ensinavam para seus alunos,
principalmente nas séries
elementares. Ele preocupava-se com o “como” o conteúdo era
ministrado ao aluno.
A partir dessas idéias, não só de Dienes, mas também de
Papy, o Movimento da
Matemática Moderna começa a ter uma nova visão onde esses
trabalhos foram considerados
como solução para os exageros que se cometiam em nome desse
Movimento, principalmente
nas séries iniciais.
Mas, como a divulgação do trabalho de Dienes contribui para
a formação de professores
de ensino primário na época do Movimento da Matemática
Moderna?
Segundo Chervell o sistema escolar é responsável pela
formação dos indivíduos assim
como molda a cultura de uma sociedade e que essa influência
pode ser estudada através de
livros, fitas, materiais escolares entre outros.
“(...) o sistema escolar é detentor de um poder criativo
insuficientemente valorizado(...) ele desempenha na
sociedade um
papel o qual não se percebeu que era duplo: de fato ele
forma não
somente os indivíduos, mas também uma cultura que vem por
sua vez
penetrar, moldar , modificar a cultura da sociedade global.
(...) A
disciplinas são modos de transmissão cultural que se dirige
aos
alunos.(...) O estudo dos conteúdos benificia-se de uma documentação
abundante à base de cursos manuscritos, manuais e periódicos
pedagógicos. Verifica-se aí um fenômeno de “vulgata”, o que
parece
comum às diferentes disciplinas(...) a descrição e análise
dessavulgata são tarefa fundamental do historiador de uma disciplina
escolar(...)” (CHERVELL, História das disciplinas escolares:
reflexões sobre um campo de pesquisa, p. 184 – 186 e 203)
Ele ainda faz menção á questão das diferenças entre como é
encarado a disciplina no
ensino primário e secundário e a disciplina no ensino
superior. No ensino superior o ensino
transmite o saber, aliando suas práticas ás suas finalidade.
Já no ensino primário e secundário,
ensina-se apenas o que o aluno deve saber.
Não podemos afirmar que um professor do ensino primário
ministra várias disciplinas,
mas talvez, o que podemos afirmar é que um professor do
ensino primário trabalha
apresentando vários conteúdos. E no caso da matemática o
conteúdo em destaque é a
aritmética.
Dienes foi um matemático que nessa época se preocupava em
como o ensino da
matemática era apresentado aos alunos do primário e quais as
motivações eram utilizadas para
o ensino da mesma. E em visitas ao Brasil deixou uma grande
quantidade de material, entre
eles, livros, fitas de vídeo, além de ter ministrados vários
cursos em São Paulo
e Rio Grande
do Sul. Esses tratavam do ensino da Matemática Moderna no
Ensino Primário.
Como professores deveriam agir, perante a aprendizagem da
Matemática? Como o
material “Blocos Lógicos” e o “ Multi-base” poderiam
auxiliar no ensino da desta?
Esses materiais serão analisados em um primeiro momento como
monumento que
segundo Le Goff (1992) qualquer fonte de pesquisa deve ser
encarada como monumentos,
passando a se documento após análise de um pesquisador.
“O documento não é qualquer cousa que fica por conta do
passado, é
um produto da sociedade que o fabricou segundo as relações
de
forças que aí detinham o poder. Só a análise do documento
enquanto
monumento permite à memória coletiva recuperá-lo e ao historiador
usá-lo cientificamente, isto é, com pleno conhecimento de
causa.(...)a
história é o que transforma os documentos em monumentos e o
que,
onde dantes se decifravam traços deixados pelos homens, onde
dantes
se tentava reconhecer em negativo o que eles tinham sido,
apresenta
agora uma massa de elementos que é preciso depois, isolar,
reagrupar, tornar pertinentes, colocar em relação,
constituir um
conjunto.”(LE GOFF, 1992, p. 545 e 546)
Vamos investigar, nesse material como Dienes influencia o
ensino primário nessa
época, e quais as contribuições na a formação de professores
também de ensino primário na
época do Movimento da Matemática Moderna.Algumas descrições
das idéias de Dienes
Na introdução de seu livro “A Matemática Moderna no Ensino
Primário” que foi
traduzido em novembro de 1967, ele afirma que a aquisição de
noções Matemáticas podem
ser decompostas em três etapas.
“1ª Numa primeira
fase, preliminar, de tenteio, ensaiam-se, mais ou menos
ao acaso, reações às várias situações, tal como sucede na
atividade
exploratória da criança. Esta fase pode ser orientada para a
maturação, se
se escolherem situações em que a atividade lúdica se
organize sob forma de
“jogos” de regras definidas; dela pode brotar uma
consciência mais nítida
da direção em que se preparam as novas descobertas.
2ª Vem depois, em
geral, uma fase intermediária, mais estruturada;
dominam-se as regras que ligam os fatos (acontecimentos)
entre si, “jogase” com esses regras; o pensamento torna-se mais consciente,
mais
dirigido. Está em vias de chegar o “momento da descoberta”,
momento em
que o esquema diretor surge, bruscamente, como um todo
organizado.
3ª À consumação
da descoberta sucede um irresistível desejo de a explorar.
Essa exploração pode fazer-se de maneira “sábia”,
analisando-lhe o
conteúdo: “que é que na realidade aprendemos?” – trata-se da
via
analítica; ou então de maneira mais comezinha, buscando
situações que a
nova descoberta permita dominar: é a via
prática.”(DIENES,1967, p. 13 e
14).
Ele ainda afirma que a introdução de simbologia se faz
necessário em alguns casos, mas
que “nas nossas aulas se abusa grosseiramente dos símbolos”.
Nas falas de Dienes podemos encontrar grande influência de
Piaget, e de outros teóricos
que na época estavam preocupados com o processo de
desenvolvimento lógico da criança.
Ele afirma que apóia-se nesses autores a fim de sugerir
melhoramentos viáveis nas
técnicas de ensino no ensino primário.
Baseado nessa preocupação e nas experiências pessoais ele
sugere através desse livro a
instrução primária coerente.
Nesse mesmo livro poderemos encontrar capítulos que tratam
de: Conjuntos e operações
sobre conjuntos, atributos e operações lógicas, o número e a
origem da sua notação, fase
estruturada: conceito de valor posicional. Adição e
subtração, Aplicações praticas dos
agrupamentos. Sendo que em cada um deles, Dienes tem o
cuidado de sugerir exemplos de
atividades.
Mais tarde escreve o livro “O poder da Matemática” e nele,
ele afirma com relação ao
conteúdo matemático, que:
“Podemos elaborar mentalmente como encontrar nosso caminho a
respeito
de estruturas matemáticas de um modo bem mecânica. Mas deve
serpossível retornar aos primeiros princípios se for necessário: por exemplo,
se estivermos escolhendo nosso caminho através de um pântano
traiçoeiro,
cada passo precisa ser cuidadosamente considerado, e a
consciência de
nossa atividade no trabalho matemático deveria ocorrer toda
vez que
começamos a pisar sobre um solo matemático não familiar,
porque as
ciladas do pensamento matemático errôneo são muitas e nenhum
conjunto
de regras será suficiente para todas elas. Para estar certo
de que esse
aumento de consciência é possível sempre que necessário, o
processo de
aprendizagem deve ser cuidadosamente planejado de forma que
as crianças
aprendam os emaranhados matemáticos necessários tornando-se
conscientes deles por si mesmas”. (DIENES, 1973. p. 08 e 09)
Como já citamos, Dienes embasa seus trabalho nas idéias de
Piaget, e essa influência se
torna mais evidente quando afirma que a criança aprende no
seu tempo, nem antes ou depois
dele, e que quanto ao desenvolvimento cognitivo, não devemos
subestimar a criança. Esta tem
a capacidade surpreender quando utilizamos da ação para o
ensino de conteúdos matemáticos.
Ele ainda divide a aprendizagem em natural e artificial.
Aprendizagem natural é aquela em que a criança aprende
conforme a sua necessidade,
ou seja, chorar quando tem fome, andar, falar, conceitos de
conjunto, e outros.
Mas a criança necessita aprender certos conceitos de maneira
artificial, ou seja, que
deve ser ensinada.
Ele afirma que a aprendizagem natural a priori é muito mais
efetiva.
A criança brinca com objetos e os classifica em grupos, sem
que isso seja ensinado, mas
isso não significa que o valor dessa classificação terá o mesmo
valor para um adulto que
observa essa atividade.
Assim sendo, o estudo de métodos de como ocorre o processo
de aprendizagem é pouco
aplicável para a mesma. Os estudos que são desenvolvidos em
laboratórios de aprendizagem
não condizem com a realidade vivida.
Com essa aprendizagem artificial, passando por estudos que
mais tarde ditam como
regras o ensino da matemática, ocorrem inevitavelmente as
falhas nesse processo de
aprendizagem.“É como aprender a estrutura fonética e a
ortografia de uma língua, e estar
apto a ler em voz alta qualquer coisa naquela língua, sem
compreender o que se está
dizendo.”(DIENES,1973, p.20)
O pensar sobre o que aconteceu é uma maturidade apenas
atingida na adolescência. Na
criança a construção deve preceder a análise, assim como
deve haver materiais que
contribuam com essa construção. Esses materiais são os
elementos básicos dos quais as
classes são construídas e as próprias classes, para só assim
ocorrer a construção de classes de
ordem mais elevadas.(DIENES,p.20)Para Dienes, quando uma
criança já esta familiarizada com algum material, como por
exemplo blocos, e essa ela percebe que para equilibrar um ou
mais desses blocos, pelo vértice,
precisa de outros, então essa criança já construiu a idéia
de “dois”, “três” e assim
sucessivamente.“ Se o material consistir em objetos que
podem ser manipulados ou em
classes de objetos que já são abstrações. Uma criança de 2
ou 3 anos pode manipular o
conceito matemático de “dois” em situações
práticas”(DIENES,1973,p.21)
A brincadeira presa a regras pode tomar três cursos: a
estrutura torna-se mais um
método de classificação (prática) , ou poderíamos analisar e
criticar como as regras funcionam
( análise retroativa) e por último poderíamos optar pelo
manuseio da aprendizagem de regraestrutura ( análise progressiva -
generalização).
Nesta última, ele considera que a generalização é uma
extensão de uma classe com uma
estrutura conhecida para uma outra classe mais extensiva, da
qual a estrutura prévia é apenas
um caso especial. Não podendo ser confundida com abstração,
que é a formação de uma
classe diretamente de elementos.(DIENES,p.26)
Quando a abstração é conseguida, o aluno consegue
classificar grande número de
situações, e quando a generalização é alcançada, exige-se um
símbolo para fixar essa
compreensão da extensão a ser atingida.
Com relação às estruturas matemáticas ele classifica as
situações em três categorias: as
irrelevantes a estrutura; as relevantes à estrutura que são
exemplares e as que não são
exemplares das classes de situações descritas pela
estrutura.
Dienes ainda nesse livro afirma que a prática educacional da
época induzia a um
conformismo. Ele defende que devemos levar as crianças a
práticas revolucionarias de ensino,
para podermos obter resultados também revolucionários. Em um
sistema que embasa-se em
recompensa e punição a criança se sentirá desmotivada e
desviadas do que elas estão fazendo
e para que fins elas o estão fazendo.
Essas crianças criadas nesse sistema se sentirão inseguras
quando solicitadas que em um
jogo, por exemplo, manipulem as regras a fim de que se
tornem o seu jogo.
O jogo matemático é uma ferramenta bastante útil à
aprendizagem quando o aluno tem a
oportunidade de estar manuseando as regras, isto é, para
Dienes a criança deve trabalhar
primeiro a estrutura, para depois partir para uma abstração.
Como já vimos existem fases da aprendizagem é necessária uma
análise retroativa ou
progressista para uma melhor abstração. Essa análise
retroativa conta com uma ferramenta
que Dienes chama de “estória matemática”, isto é, essa
estória adaptar a criança atransformação-imagem, e que quando essas
transformações acontecem com facilidade
poderão, então ser expressas por um sistema simbólico
matemático.
Ele ainda afirma que o professor deve inventar estórias
correspondentes e que essa
invenção torna fácil a tarefa de estudar as estruturas.
As pessoas muitas vezes não conseguem ou acham difícil
manipular a simbologia
matemática por não saber o que estão manipulando.
“ A apreensão de estruturas e o processo de simbolização não
são
inteiramente distintos, e de fato há razão para se acreditar
que cada um age
como estímulo sobre o outro. Embora seja verdade que não
podemos falar
significantemente sobre alguma coisa, isto é, simboliza-la,
até que tenhamos
aprendido por experiência aquilo sobre que estamos falando,
o fato de que
crescemos num ambiente social não pode ser
ignorado”(DIENES,1973,p.132)
Uma criança que convive com manipulações de imagens
matemáticas ou com materiais
estruturados, como por exemplo, os jogos desenvolvem um
simbolismo próprio. Se essa
criança depara-se com um professor que ignora esse tipo de
estrutura, pode retardar o
processo de aprendizagem dessa mesma criança.
Mas também é verdade que existe a preocupação de Dienes por
parte de que essa
criança pode aliar o simbolismo apenas á manipulação do
material. Então cabe ao professor
estar preparado para que a criança alie o simbolismo
desejado às estruturas matemáticas que
estão simbolizadas por ele.
Para Dienes o pensamento matemático é constituído de
abstração e generalização.
Os conteúdos ensinados aos alunos precisam ter significado
pois, senão, tornam-se um
amontoado de fórmulas que, sem condizer com a realidade, são
memorizadas para uma
resolução de exercício sugerido pelo professor.
Quando propomos ao aluno do primário um novo conteúdo este
deve ser feito de
maneira com que esse se consiga acomodá-lo para que mais
tarde lance mão do mesmo na
resolução de outras situações.
Uma generalização não pode ser feita sem abstração, ou então
encontraremos uma
grande resistência à simbolização.
“ O aspecto mais excitante dos símbolos para o matemático é
sua função
criativa. Capacitando-o a armazenar uma enorme quantidade de
informações compactamente, os símbolos dão-lhe o tipo de
material que a
tinta dá ao pintor, ou a pedra ao escultor. Através da
manipulação judiciosa
pode formular questões excitante, assim como, resolver
problemas que
outras pessoas não forma capazes de resolver. Pode
transformar problemas
em problemas equivalentes, ou passar de um problema a
problema
coligados que podem parecer mais interessantes.” (DIENES,
1973, p. 144)Cabe ao professor colocar as crianças em situações tais que
possibilitem a criatividade
no uso de simbolismos matemáticos ocasionando também
soluções criativas.
“ É desnecessário dizer que a matemática é imensamente mais
ampla que os
olhares que demos a ela nessa páginas; mas mesmo a
matemática que as
crianças em escolas podem entender, somente o serão se lhes
forem dadas
oportunidades de explorá-la sob a orientação de professores
simpáticos e
entusiastas.”(DIENES,1973, p. 174)
Até aqui, sob olhar de Dienes, percebemos a responsabilidade
do professor no processo
de aprendizagem da matemática.
Dienes continua sua contribuição ao ensino da Matemática com
uma coleção de três
livros titulada: “Primeiros passos em matemática”. Essa
coleção era destinada a professores e
aonde no primeiro volume faz observações preliminares sobre
a matemática e a criança,
partindo então para as idéias fundamentais de lógica e de
jogos lógicos, sempre com exemplos
de situações. Já no segundo ele faz alusão a conjuntos,
números e potências, novamente
trazendo ao professor-leitor exemplos de jogos para ensinar
esses conteúdos. No terceiro e
último ele explora o espaço e jogos que conduzem ao
aprendizado da geometria. Os jogos
apresentados nessa coleção utilizam o material didático
“Blocos Lógicos”, idealizados pelo
autor.
Em 1967, ele escreve
um livro resumindo o processo de aprendizagem matemática em
seis etapas.
“1º - Noção do
meio: Nesta etapa o professor deve ter bem fixo o conceito
de aprendizagem como a capacidade de adaptação a um
determinado meio.
Ë preciso criar um meio artificial, destinado à aprendizagem
de um
conjunto qualquer de noções matemáticas”;
2 º - Regras do
jogo: Inicia-se introduzindo vários jogos, cujas regras no
início são impostas, para mais tarde a criança criar suas
próprias;
3º - Abstração:
Sugere-se vários jogos semelhantes para que através das
regras da etapa acima (concreta) a criança realize
abstração. Mas é
importante frisar que a criança ainda não tem condições de
utilizar esta
abstração;
4º - Processo de
representação: A criança fala do que abstraiu, na etapa
acima, examina outros jogos e consegue refletir sobre estes;
5º - Descrição da
representação (linguagem): Cada criança cria sua
própria linguagem, criando axiomas, e mais tarde discute com
o resto do
grupo qual a melhor linguagem a ser adotada;
6º - Regras do
jogo de demonstração (Teoremas): Após concluir-se qual a
melhor linguagem adota-se como regra. Nesta etapa pode-se
dizer que a
criança conseguiu atingir a noção lógica Matemática,
formulou
teoremas.”(DIENES, 1972,capitulo 1)
Referência
Bibliografia
DIENES, Z. G. O poder da Matemática. São Paulo: E. P. U.
1973.
___________.As seis etapas do processo de aprendizagem em matemática.São Paulo :
E.
P. U. 1975.
___________.A Matemática Moderna no Ensino Primário. São
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Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada )
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WANDSWORTH, Barry J. Inteligência e afetividade da
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