DIENES E O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA

Dienes e O Movimento da Matemática Moderna

Dienes foi nasceu na Hungria, fez os seus estudos primários e secundários na França, e

passou depois para a Inglaterra, onde Doutorou em Matemática e em Psicologia.

Ele estava profundamente interessado pelo estudo da formação de conceitos e os

processos do pensamento abstrato envolvendo principalmente o ensino da Matemática.

Tomou parte ativa nas reuniões de Royaumont e Dubrovnick, que desencadearam o

movimento de renovação dos programas de Matemática no ensino secundário. Porém Dienes

ultrapassa as recomendações e sugere caminhos para a renovação do ensino da Matemática

Logo nas primeiras idades escolares, e até nas pré-escolares.

Dienes não propôs uma mudança nos conteúdos dos programas de ensino, mas sim na

forma com que os professores os ensinavam para seus alunos, principalmente nas séries

elementares. Ele preocupava-se com o “como” o conteúdo era ministrado ao aluno.

A partir dessas idéias, não só de Dienes, mas também de Papy, o Movimento da

Matemática Moderna começa a ter uma nova visão onde esses trabalhos foram considerados

como solução para os exageros que se cometiam em nome desse Movimento, principalmente

nas séries iniciais.

Mas, como a divulgação do trabalho de Dienes contribui para a formação de professores

de ensino primário na época do Movimento da Matemática Moderna?

Segundo Chervell o sistema escolar é responsável pela formação dos indivíduos assim

como molda a cultura de uma sociedade e que essa influência pode ser estudada através de

livros, fitas, materiais escolares entre outros.

“(...) o sistema escolar é detentor de um poder criativo

insuficientemente valorizado(...) ele desempenha na sociedade um

papel o qual não se percebeu que era duplo: de fato ele forma não

somente os indivíduos, mas também uma cultura que vem por sua vez

penetrar, moldar , modificar a cultura da sociedade global. (...) A

disciplinas são modos de transmissão cultural que se dirige aos

alunos.(...) O estudo dos conteúdos benificia-se de uma documentação

abundante à base de cursos manuscritos, manuais e periódicos

pedagógicos. Verifica-se aí um fenômeno de “vulgata”, o que parece

comum às diferentes disciplinas(...) a descrição e análise dessavulgata são tarefa fundamental do historiador de uma disciplina

escolar(...)” (CHERVELL, História das disciplinas escolares:

reflexões sobre um campo de pesquisa, p. 184 – 186 e 203)

Ele ainda faz menção á questão das diferenças entre como é encarado a disciplina no

ensino primário e secundário e a disciplina no ensino superior. No ensino superior o ensino

transmite o saber, aliando suas práticas ás suas finalidade. Já no ensino primário e secundário,

ensina-se apenas o que o aluno deve saber.

Não podemos afirmar que um professor do ensino primário ministra várias disciplinas,

mas talvez, o que podemos afirmar é que um professor do ensino primário trabalha

apresentando vários conteúdos. E no caso da matemática o conteúdo em destaque é a

aritmética.

Dienes foi um matemático que nessa época se preocupava em como o ensino da

matemática era apresentado aos alunos do primário e quais as motivações eram utilizadas para

o ensino da mesma. E em visitas ao Brasil deixou uma grande quantidade de material, entre

eles, livros, fitas de vídeo, além de ter ministrados vários cursos em São Paulo e Rio Grande

do Sul. Esses tratavam do ensino da Matemática Moderna no Ensino Primário.

Como professores deveriam agir, perante a aprendizagem da Matemática? Como o

material “Blocos Lógicos” e o “ Multi-base” poderiam auxiliar no ensino da desta?

Esses materiais serão analisados em um primeiro momento como monumento que

segundo Le Goff (1992) qualquer fonte de pesquisa deve ser encarada como monumentos,

passando a se documento após análise de um pesquisador.

“O documento não é qualquer cousa que fica por conta do passado, é

um produto da sociedade que o fabricou segundo as relações de

forças que aí detinham o poder. Só a análise do documento enquanto

monumento permite à memória coletiva recuperá-lo e ao historiador

usá-lo cientificamente, isto é, com pleno conhecimento de causa.(...)a

história é o que transforma os documentos em monumentos e o que,

onde dantes se decifravam traços deixados pelos homens, onde dantes

se tentava reconhecer em negativo o que eles tinham sido, apresenta

agora uma massa de elementos que é preciso depois, isolar,

reagrupar, tornar pertinentes, colocar em relação, constituir um

conjunto.”(LE GOFF, 1992, p. 545 e 546)

Vamos investigar, nesse material como Dienes influencia o ensino primário nessa

época, e quais as contribuições na a formação de professores também de ensino primário na

época do Movimento da Matemática Moderna.Algumas descrições das idéias de Dienes

Na introdução de seu livro “A Matemática Moderna no Ensino Primário” que foi

traduzido em novembro de 1967, ele afirma que a aquisição de noções Matemáticas podem

ser decompostas em três etapas.

“1ª Numa primeira fase, preliminar, de tenteio, ensaiam-se, mais ou menos

ao acaso, reações às várias situações, tal como sucede na atividade

exploratória da criança. Esta fase pode ser orientada para a maturação, se

se escolherem situações em que a atividade lúdica se organize sob forma de

“jogos” de regras definidas; dela pode brotar uma consciência mais nítida

da direção em que se preparam as novas descobertas.

2ª Vem depois, em geral, uma fase intermediária, mais estruturada;

dominam-se as regras que ligam os fatos (acontecimentos) entre si, “jogase” com esses regras; o pensamento torna-se mais consciente, mais

dirigido. Está em vias de chegar o “momento da descoberta”, momento em

que o esquema diretor surge, bruscamente, como um todo organizado.

3ª À consumação da descoberta sucede um irresistível desejo de a explorar.

Essa exploração pode fazer-se de maneira “sábia”, analisando-lhe o

conteúdo: “que é que na realidade aprendemos?” – trata-se da via

analítica; ou então de maneira mais comezinha, buscando situações que a

nova descoberta permita dominar: é a via prática.”(DIENES,1967, p. 13 e

14).

Ele ainda afirma que a introdução de simbologia se faz necessário em alguns casos, mas

que “nas nossas aulas se abusa grosseiramente dos símbolos”.

Nas falas de Dienes podemos encontrar grande influência de Piaget, e de outros teóricos

que na época estavam preocupados com o processo de desenvolvimento lógico da criança.

Ele afirma que apóia-se nesses autores a fim de sugerir melhoramentos viáveis nas

técnicas de ensino no ensino primário.

Baseado nessa preocupação e nas experiências pessoais ele sugere através desse livro a

instrução primária coerente.

Nesse mesmo livro poderemos encontrar capítulos que tratam de: Conjuntos e operações

sobre conjuntos, atributos e operações lógicas, o número e a origem da sua notação, fase

estruturada: conceito de valor posicional. Adição e subtração, Aplicações praticas dos

agrupamentos. Sendo que em cada um deles, Dienes tem o cuidado de sugerir exemplos de

atividades.

Mais tarde escreve o livro “O poder da Matemática” e nele, ele afirma com relação ao

conteúdo matemático, que:

“Podemos elaborar mentalmente como encontrar nosso caminho a respeito

de estruturas matemáticas de um modo bem mecânica. Mas deve serpossível retornar aos primeiros princípios se for necessário: por exemplo,

se estivermos escolhendo nosso caminho através de um pântano traiçoeiro,

cada passo precisa ser cuidadosamente considerado, e a consciência de

nossa atividade no trabalho matemático deveria ocorrer toda vez que

começamos a pisar sobre um solo matemático não familiar, porque as

ciladas do pensamento matemático errôneo são muitas e nenhum conjunto

de regras será suficiente para todas elas. Para estar certo de que esse

aumento de consciência é possível sempre que necessário, o processo de

aprendizagem deve ser cuidadosamente planejado de forma que as crianças

aprendam os emaranhados matemáticos necessários tornando-se

conscientes deles por si mesmas”. (DIENES, 1973. p. 08 e 09)

Como já citamos, Dienes embasa seus trabalho nas idéias de Piaget, e essa influência se

torna mais evidente quando afirma que a criança aprende no seu tempo, nem antes ou depois

dele, e que quanto ao desenvolvimento cognitivo, não devemos subestimar a criança. Esta tem

a capacidade surpreender quando utilizamos da ação para o ensino de conteúdos matemáticos.

Ele ainda divide a aprendizagem em natural e artificial.

Aprendizagem natural é aquela em que a criança aprende conforme a sua necessidade,

ou seja, chorar quando tem fome, andar, falar, conceitos de conjunto, e outros.

Mas a criança necessita aprender certos conceitos de maneira artificial, ou seja, que

deve ser ensinada.

Ele afirma que a aprendizagem natural a priori é muito mais efetiva.

A criança brinca com objetos e os classifica em grupos, sem que isso seja ensinado, mas

isso não significa que o valor dessa classificação terá o mesmo valor para um adulto que

observa essa atividade.

Assim sendo, o estudo de métodos de como ocorre o processo de aprendizagem é pouco

aplicável para a mesma. Os estudos que são desenvolvidos em laboratórios de aprendizagem

não condizem com a realidade vivida.

Com essa aprendizagem artificial, passando por estudos que mais tarde ditam como

regras o ensino da matemática, ocorrem inevitavelmente as falhas nesse processo de

aprendizagem.“É como aprender a estrutura fonética e a ortografia de uma língua, e estar

apto a ler em voz alta qualquer coisa naquela língua, sem compreender o que se está

dizendo.”(DIENES,1973, p.20)

O pensar sobre o que aconteceu é uma maturidade apenas atingida na adolescência. Na

criança a construção deve preceder a análise, assim como deve haver materiais que

contribuam com essa construção. Esses materiais são os elementos básicos dos quais as

classes são construídas e as próprias classes, para só assim ocorrer a construção de classes de

ordem mais elevadas.(DIENES,p.20)Para Dienes, quando uma criança já esta familiarizada com algum material, como por

exemplo blocos, e essa ela percebe que para equilibrar um ou mais desses blocos, pelo vértice,

precisa de outros, então essa criança já construiu a idéia de “dois”, “três” e assim

sucessivamente.“ Se o material consistir em objetos que podem ser manipulados ou em

classes de objetos que já são abstrações. Uma criança de 2 ou 3 anos pode manipular o

conceito matemático de “dois” em situações práticas”(DIENES,1973,p.21)

A brincadeira presa a regras pode tomar três cursos: a estrutura torna-se mais um

método de classificação (prática) , ou poderíamos analisar e criticar como as regras funcionam

( análise retroativa) e por último poderíamos optar pelo manuseio da aprendizagem de regraestrutura ( análise progressiva - generalização).

Nesta última, ele considera que a generalização é uma extensão de uma classe com uma

estrutura conhecida para uma outra classe mais extensiva, da qual a estrutura prévia é apenas

um caso especial. Não podendo ser confundida com abstração, que é a formação de uma

classe diretamente de elementos.(DIENES,p.26)

Quando a abstração é conseguida, o aluno consegue classificar grande número de

situações, e quando a generalização é alcançada, exige-se um símbolo para fixar essa

compreensão da extensão a ser atingida.

Com relação às estruturas matemáticas ele classifica as situações em três categorias: as

irrelevantes a estrutura; as relevantes à estrutura que são exemplares e as que não são

exemplares das classes de situações descritas pela estrutura.

Dienes ainda nesse livro afirma que a prática educacional da época induzia a um

conformismo. Ele defende que devemos levar as crianças a práticas revolucionarias de ensino,

para podermos obter resultados também revolucionários. Em um sistema que embasa-se em

recompensa e punição a criança se sentirá desmotivada e desviadas do que elas estão fazendo

e para que fins elas o estão fazendo.

Essas crianças criadas nesse sistema se sentirão inseguras quando solicitadas que em um

jogo, por exemplo, manipulem as regras a fim de que se tornem o seu jogo.

O jogo matemático é uma ferramenta bastante útil à aprendizagem quando o aluno tem a

oportunidade de estar manuseando as regras, isto é, para Dienes a criança deve trabalhar

primeiro a estrutura, para depois partir para uma abstração.

Como já vimos existem fases da aprendizagem é necessária uma análise retroativa ou

progressista para uma melhor abstração. Essa análise retroativa conta com uma ferramenta

que Dienes chama de “estória matemática”, isto é, essa estória adaptar a criança atransformação-imagem, e que quando essas transformações acontecem com facilidade

poderão, então ser expressas por um sistema simbólico matemático.

Ele ainda afirma que o professor deve inventar estórias correspondentes e que essa

invenção torna fácil a tarefa de estudar as estruturas.

As pessoas muitas vezes não conseguem ou acham difícil manipular a simbologia

matemática por não saber o que estão manipulando.

“ A apreensão de estruturas e o processo de simbolização não são

inteiramente distintos, e de fato há razão para se acreditar que cada um age

como estímulo sobre o outro. Embora seja verdade que não podemos falar

significantemente sobre alguma coisa, isto é, simboliza-la, até que tenhamos

aprendido por experiência aquilo sobre que estamos falando, o fato de que

crescemos num ambiente social não pode ser

ignorado”(DIENES,1973,p.132)

Uma criança que convive com manipulações de imagens matemáticas ou com materiais

estruturados, como por exemplo, os jogos desenvolvem um simbolismo próprio. Se essa

criança depara-se com um professor que ignora esse tipo de estrutura, pode retardar o

processo de aprendizagem dessa mesma criança.

Mas também é verdade que existe a preocupação de Dienes por parte de que essa

criança pode aliar o simbolismo apenas á manipulação do material. Então cabe ao professor

estar preparado para que a criança alie o simbolismo desejado às estruturas matemáticas que

estão simbolizadas por ele.

Para Dienes o pensamento matemático é constituído de abstração e generalização.

Os conteúdos ensinados aos alunos precisam ter significado pois, senão, tornam-se um

amontoado de fórmulas que, sem condizer com a realidade, são memorizadas para uma

resolução de exercício sugerido pelo professor.

Quando propomos ao aluno do primário um novo conteúdo este deve ser feito de

maneira com que esse se consiga acomodá-lo para que mais tarde lance mão do mesmo na

resolução de outras situações.

Uma generalização não pode ser feita sem abstração, ou então encontraremos uma

grande resistência à simbolização.

“ O aspecto mais excitante dos símbolos para o matemático é sua função

criativa. Capacitando-o a armazenar uma enorme quantidade de

informações compactamente, os símbolos dão-lhe o tipo de material que a

tinta dá ao pintor, ou a pedra ao escultor. Através da manipulação judiciosa

pode formular questões excitante, assim como, resolver problemas que

outras pessoas não forma capazes de resolver. Pode transformar problemas

em problemas equivalentes, ou passar de um problema a problema

coligados que podem parecer mais interessantes.” (DIENES, 1973, p. 144)Cabe ao professor colocar as crianças em situações tais que possibilitem a criatividade

no uso de simbolismos matemáticos ocasionando também soluções criativas.

“ É desnecessário dizer que a matemática é imensamente mais ampla que os

olhares que demos a ela nessa páginas; mas mesmo a matemática que as

crianças em escolas podem entender, somente o serão se lhes forem dadas

oportunidades de explorá-la sob a orientação de professores simpáticos e

entusiastas.”(DIENES,1973, p. 174)

Até aqui, sob olhar de Dienes, percebemos a responsabilidade do professor no processo

de aprendizagem da matemática.

Dienes continua sua contribuição ao ensino da Matemática com uma coleção de três

livros titulada: “Primeiros passos em matemática”. Essa coleção era destinada a professores e

aonde no primeiro volume faz observações preliminares sobre a matemática e a criança,

partindo então para as idéias fundamentais de lógica e de jogos lógicos, sempre com exemplos

de situações. Já no segundo ele faz alusão a conjuntos, números e potências, novamente

trazendo ao professor-leitor exemplos de jogos para ensinar esses conteúdos. No terceiro e

último ele explora o espaço e jogos que conduzem ao aprendizado da geometria. Os jogos

apresentados nessa coleção utilizam o material didático “Blocos Lógicos”, idealizados pelo

autor.

Em 1967, ele escreve um livro resumindo o processo de aprendizagem matemática em

seis etapas.

“1º - Noção do meio: Nesta etapa o professor deve ter bem fixo o conceito

de aprendizagem como a capacidade de adaptação a um determinado meio.

Ë preciso criar um meio artificial, destinado à aprendizagem de um

conjunto qualquer de noções matemáticas”;

2 º - Regras do jogo: Inicia-se introduzindo vários jogos, cujas regras no

início são impostas, para mais tarde a criança criar suas próprias;

3º - Abstração: Sugere-se vários jogos semelhantes para que através das

regras da etapa acima (concreta) a criança realize abstração. Mas é

importante frisar que a criança ainda não tem condições de utilizar esta

abstração;

4º - Processo de representação: A criança fala do que abstraiu, na etapa

acima, examina outros jogos e consegue refletir sobre estes;

5º - Descrição da representação (linguagem): Cada criança cria sua

própria linguagem, criando axiomas, e mais tarde discute com o resto do

grupo qual a melhor linguagem a ser adotada;

6º - Regras do jogo de demonstração (Teoremas): Após concluir-se qual a

melhor linguagem adota-se como regra. Nesta etapa pode-se dizer que a

criança conseguiu atingir a noção lógica Matemática, formulou

teoremas.”(DIENES, 1972,capitulo 1)

Referência Bibliografia

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