Atividades para Desenvolvimento em Sala de Aula

(O professor para estimular os alunos deve propor uma aula 

prática com ábaco móvel para facilitar a aprendizagem.)

Material (ábaco)

Ábaco de pinos – 1 por aluno

O ábaco de pinos pode ser construído com diferentes materiais como: caixa de ovos, sabão em pedra ou isopor (servindo de base para as ordens e classes), palito para churrasco (para indicar cada ordem), macarrão de furinho, argolas ou borrachinhas para cabelo (representando a unidade).

Objetivos:

Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal explorando situações-problema que envolvam contagem;

- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de Numeração Decimal.

1- Realize no ábaco o que é pedido descrevendo cada procedimento realizado.

a) 100. Retire uma unidade. Quanto ficou?

       

b) 240. Retire uma unidade. Quanto ficou?

      

c) 99. Acrescente uma unidade. O que aconteceu?

  

d) 190. Acrescente uma dezena. E agora o que aconteceu?

Perguntas desafiadoras

            Esta atividade é para uma criança do 3º ano com 8 anos de idade morador da zona rural de Pirassununga, sendo utilizado o ábaco com instrumento de ajuda.

Este aluno possui um pouco de dificuldade na subtração porem, na adição ele é bem esperto e rápido e faz com precisão todos os resultados

1. Anna Beatriz tem 15 bonecas e doou 4 delas. Com quantas bonecas ela ficou?

2. Numa festa estavam 20 meninas e nenhum menino. Depois , chegaram 19 meninos. Quantas crianças foram na festa?

3. Pedro tem 20 reais e sua irmã tem 12 reais. Quantos reais Felipe tem a mais que sua irmã?

4. Luana tinha 5 balas e ganhou mais 3 balas de Laiza. Com quantas balas Luana ficou?

História do Ábaco

O Ábaco, primeira máquina de calcular da humanidade, foi inventado pelos chineses conhecendo-se também versões japonesas, russas e astecas.

ÁBACO
TIPOS DE ÁBACOS	Momento histórico de surgimento	UTILIDADE PARA A HUMANIDADE (forma de contagem)
Ábaco Romano	O ábaco romano data o século I - D.C, segundo ilustrações encontradas em sarcófagos romanos desta época.	Este ábaco era constituído por uma pequena placa metálica com ranhuras paralelas e verticais nas quais deslizavam botões móveis do mesmo tamanho, que representavam uma determinada ordem de grandeza: 8 em cima e 9 em baixo. Cada uma das filas de cima tinha uma única peça, enquanto que, nas filas de baixo, existiam 4 peças. Para representar um número na fila de baixo, bastava deslocar as peças para cima e, quando fossem necessárias 5 peças, deslocava-se a peça da fila de cima para baixo.
Ábaco Chinês (Suan-pan)	Século XIV	O ábaco chinês tem duas contas em cada vareta de cima e cinco nas varetas de baixo, por esta razão é referido como 2/5. Cada conta corresponde a uma unidade na coluna inferior direita; cinco unidades na coluna superior direita; uma dezena na segunda coluna inferior; cinco dezenas na segunda coluna superior e assim sucessivamente.
Ábaco Japonês (Soroban)	Por volta de 1600 D.C	Os japoneses adaptaram o ábaco chinês 1/5 para o ábaco 1/4, desta forma foi possível obter valores entre 0 e 9 (10 valores possíveis) em cada coluna.
Ábaco Russo (Schoty)	O ábaco russo foi inventado no século XVII	No ábaco russo as peças são movidas na horizontal, da direita para a esquerda, diferente dos ábacos orientais. Existem 10 peças de igual valor por linha, a linha mais pequena representa a separação decimal, acima desta temos as unidades, as dezenas, as centenas e assim sucessivamente e abaixo desta temos as décimas, as centésimas e as milésimas. A forma de fazer operações matemáticas é semelhante ao do ábaco chinês.
Ábaco Asteca	Surgiu entre 900-1000 D.C	No Ábaco Asteca, as contas eram feitas de grãos de milho e atravessados por barbantes montados numa armação de madeira. Este ábaco é composto por 7 linhas e 13 colunas.  Na civilização asteca os números eram muito importantes, o número 7 era sagrado e o 13 representava a contagem do tempo em períodos de 13 dias.

Ábaco

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.

Como Ensinar Matemática no Ensino Fundamental

Uma boa articulação do plano de aula, deixará os educadores com uma capacidade maior de repassar mais precisamente seus conhecimentos na área. Poder dividir o plano de aula em blocos de assuntos, é algo interessante no processo. Uma divisão de conteúdo pode ocasionar outros subgrupos de divisão, e "isto" resultará num aprendizado dinâmico e completo da disciplina. Aulas práticas visando atribuições ao cotidiano dos alunos, é mais um passo importante que possa ser dado pelos educadores. Aplicar uma metodologia de ensino voltada para o aprendizado direto e dinâmico da disciplina, é o fator de maior qualidade e eficácia.

A Importância dos Jogos na Aprendizagem Matemática das Crianças de 4 a 6 Anos

A relação entre o jogo e a Matemática possui atenção de vários autores e constitui-se numa abordagem significativa, principalmente na Educação Infantil, pois é nesse período que as crianças devem encontrar o espaço para explorar e descobrir elementos da realidade que as cerca. A criança deve ter oportunidade de vivenciar situações ricas e desafiadoras, as quais são proporcionadas pela utilização dos jogos como recurso pedagógico.

De acordo com Schwartz (1966), a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se vagarosamente e penetrou, tardiamente, no âmbito escolar, sendo sistematizada com atraso, mas trouxe transformações significativas, fazendo com que a aprendizagem se tornasse divertida. A importância dos jogos no ensino da Matemática vem sendo debatida há algum tempo, sendo bastante questionado o fato de a criança realmente aprender Matemática brincando e a intervenção do professor. Por isso, ao optar por trabalhar a Matemática por meio dos jogos, o professor deve levar em conta a importância da definição dos conteúdos e das habilidades presentes nas brincadeiras e o planejamento de sua ação com o objetivo de o jogo não se tornar mero lazer.

A Matemática faz-se presente em diversas atividades realizadas pelas crianças e oferece aos homens em geral várias situações que possibilitam o desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e a capacidade de resolver problemas. O ensino dessa disciplina pode potencializar essas capacidades, ampliando as possibilidades dos alunos de compreender e transformar a realidade.

 Dentre os muitos objetivos do ensino de Matemática, encontra-se o de ensinar a resolver problemas, e as situações de jogos representam uma boa situação-problema, na medida em que o professor sabe propor boas questões aos alunos, potencializando suas capacidades para compreender e explicar os fatos e conceitos da Matemática. Segundo Boavida (1992), o principal objetivo da educação é ensinar os mais novos a pensar, e a resolução de problemas constitui uma arte prática que todos os alunos podem aprender.

Miguel de Guzmán (1986) valoriza a utilização dos jogos para o ensino da Matemática, sobretudo porque eles não apenas divertem, mas também extrai das atividades materiais suficientes para gerar conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação. De acordo com Borin (1996), um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de Matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos.

 Assim sendo, o ensino da Matemática na Educação Infantil deve priorizar o avanço do conhecimento das crianças perante situações significativas de aprendizagem, sendo que o ensino por meio dos jogos deve acontecer de forma a auxiliar no ensino do conteúdo, propiciando a aquisição de habilidades e o desenvolvimento operatório da criança.

Considerações Finais

Em relação às capacidades numéricas precoces da criança, o próprio fato, da elaboração da síntese original entre a classificação e a seriação não se dar de forma linear, mas, sim, sincrônica e solidariamente, já indica a presença de números primitivos (quantificadores), virtuais ou reais, a partir dos níveis mais elementares, o que já é relatado no livro O nascimento da inteligência na criança (1987).

No que se refere à contagem, fundamentando-nos apenas na teoria piagetiana, pudemos considerar que ela, contagem, desempenha um papel importante na construção do conceito do número e, assim, tanto as atividades lógicas como as numéricas devem ser abordadas e exploradas no espaço escolar. Afinal, embora as dificuldades e os obstáculos da construção do número, do sistema de numeração decimal e da escrita numérica possam ser, parecem, os mesmos para a criança e para a humanidade, existem recursos fornecidos pelo meio para que o processo seja incrivelmente acelerado e a contagem é o principal deles!

Teoricamente, uma conclusão possível, a partir das referências escolhidas para ilustrar os atuais "caminhos do número", é que o trabalho de Piaget e Szeminska (1981) continua na base destes estudos, quer estes pretendam confirmá-los, complementá-los ou colocá-los em cheque. Isto demonstra bem, segundo os termos de Rémy Droz, "l'incroyable fécondidité heuristique" (a incrível fecundidade heurística), do trabalho de Piaget e Szemiska (DROZ, 1991, p. 286).

No que é atinente às questões didático-metodológicas, é fato que muitas outras variáveis estão envolvidas numa ação pedagógica de qualidade. Porém, nenhuma merece mais atenção do que o trabalho do professor, pois a compreensão que o professor possui da matemática é um fator decisivo para o sucesso do aluno. Para Nogueira (2007), é muito importante que o professor conheça as fases da construção do número, especialmente a noção de quotidade, pois, levando a criança a contar coisas, favorece a elaboração do aspecto serial da numeração.

Além disso, ao contar elementos, a criança aponta e diz a palavra-número, constituindo formas de equivalências numéricas e estabelecendo correspondência biunívoca. Assim, compreendendo o contexto no qual o professor da Educação Básica está inserido, suas necessidades, aspirações e condições; considerando o momento atual, com uma mudança substancial no ensino fundamental, representada pela ampliação de mais um ano, entendemos ser de fundamental importância que o professor enriqueça seu repertório teórico para subsidiar, de maneira consistente, seu fazer pedagógico.

A Enumeração no Ensino do Número e a Teoria Piagetiana

Algumas das pesquisas acerca da influência da enumeração na construção do conceito de número anteriormente citadas indicam que certos aspectos do número são seguramente culturais e, assim, as crianças constroem as pré-noções cardinais (responder à questão quanto) e ordinais (mostrar o n-ésimo elemento) muito antes de terem construído os elementos lógicos do número.

É fato também que as transmissões culturais (palavras-números, canções, enumeração ou contagem, aprendizagem reforçada) são insuficientes para reconhecer um número do qual não se utiliza sistematicamente, porém, em contrapartida, são necessárias para construir a ferramenta matemática a uma velocidade normal. Outro aspecto importante a ser considerado é que para uma criança do século XXI a aquisição do conceito de número obedece a uma ordem inversa da ordem em que o conceito foi construído pela humanidade, afinal, elas convivem socialmente com as palavras-número antes de construírem a sequência numérica.

Esse "conhecimento" social que as crianças atualmente possuem da sequência das palavras-número, dos numerais, permite que compreendamos melhor a insistência acerca da importância da contagem no desenvolvimento do conceito de número. Na construção do conceito de número, ou seja, a capacidade de abstrair uma mesma quantidade a partir de objetos diferentes; de configurações espaciais diferentes, a criança passa por etapas que são parcialmente semelhantes às etapas dos "inventores" do número. Os obstáculos a vencer e as soluções a encontrar são sempre os mesmos.

Sem conservação do todo não há quantidade e isso é verdadeiro em 2009 como o era em 3500 a.C. Todavia, de acordo com Chalon-Blanc (2008), esse processo exigirá de cada criança de 6 a 7 anos e não milênios, como necessitou a humanidade, pois a criança se encontra, desde o seu nascimento, mergulhada em diferentes contextos numéricos. As variações do meio podem, eventualmente, modificar a velocidade das aquisições, mas não a natureza dos obstáculos a vencer e, assim, a construção da quantidade conserva um máximo de coerência com suas origens, embora esteja imersa em um conjunto infinitamente mais vasto do que o conjunto de origem ao qual pertencia.

É essa incrível redução do tempo que evidencia a importância da transmissão de maneira implícita, nas atividades cotidianas, ou de maneira explícita, no contexto escolar, de conhecimentos processuais ou declarativos, distintos daqueles que a criança constrói individualmente. No caso do número, a enumeração é o principal desses conhecimentos.

Construção do Número

Jean Piaget (1896-1980) investigou como se processa a construção do conceito de número de forma experimental. Em sua teoria determinou quatro períodos do desenvolvimento do pensamento da criança. O período pré-operacional corresponde a um período pré-numérico, pré-operatório, ou seja, puramente intuitivo. Significa que a criança só percebe os fatos através dos sentidos, a partir de manipulações práticas. O aparecimento da função simbólica permite à criança ter uma representação mental dos objetos e das coisas do ambiente, o que lhe possibilita fazer classificações.

Neste período, a criança classifica quando separa ou agrupa objetos por suas semelhanças ou diferenças, estabelecendo assim, relações das coisas do ambiente em que vive. A classificação e a seriação são operações lógicas que têm estreita relação com a conservação numérica e favorecem a formação do conceito de número. A criança tem condições de construir o conceito de número no período das operações concretas, pois é nesta fase que ela se apropria de vários esquemas de conservação. O número, segundo Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos: ordem e inclusão hierárquica.

Ordem é a relação que a criança elabora ao contar um determinado número de elementos, sem saltar ou repetir algum. Inclusão hierárquica é a relação que permite à criança a quantificação dos objetos como um grupo, ou seja, ao lhe pedirmos que nos mostre 8 objetos, arranjados numa relação ordenada, ela nos apontará para o grupo todo e não apenas para o último. Entre 7 e 8 anos de idade, o número de relações que a criança estabelece permite- lhe a mobilidade do pensamento de forma a torná-lo reversível. A reversibilidade se refere à habilidade de realizar, mentalmente, ações opostas simultaneamente, isto é, separar o todo das partes e reuni-las novamente no todo.

Assim, a criança compreende que uma ação inversa anula a transformação observada. Na aquisição do conceito de número, destacam-se quatro noções básicas: classificação, seriação, correspondência biunívoca e conservação da quantidade. Classificar é agrupar segundo um critério. Podemos classificar figuras geométricas (cor, forma, tamanho), utensílios de cozinha (utilidade), livros de história (gênero), animais (espécie), frutas (tipo), secos e molhados, insetos, figurinhas, materiais escolares, botões (número de furos, tamanho, cor), enfim, tudo aquilo que for da vivência da criança.

 Seriar significa colocar em série, em ordem, ordenar. Podemos seriar com materiais diversos, tais como: blocos lógicos, botões, palitos, tampinhas e com os próprios alunos, estabelecendo relações do tipo: maior que, menor que, mais pesado que, menos pesado que, mais que, menos que. Seriar conforme a cor, do mais claro ao mais escuro, fazer seqüências lógicas em cartões (histórias), seqüências de posições e de atividades. Correspondência biunívoca é a correspondência também chamada um a um, ou seja, cada elemento do primeiro conjunto deverá corresponder a um e somente um elemento do segundo conjunto que também será esgotado.Podemos fazer correspondência com bonecas e camas, xícaras e pires, meninos e bonés, bonecas e vestidos, cães e ossos, cartazes com encaixes para figuras.

 Conservação da quantidade: a criança conserva a quantidade no momento em que ela reconhece que o número de elementos de um conjunto não varia, quaisquer que sejam as maneiras como se agrupam esses elementos.Podemos organizar duas fileiras de botões, tampinhas, bolinhas, fazendo a correspondência termo a termo. Após, modifica-se a disposição dos mesmos e questionamos a criança perguntando se nas duas fileiras tem a mesma quantidade.

Considerações Finais

Estabelecemos pela reflexão que, em sua ação usual, a escola impõe aos alunos uma obediência irrefletida às definições e aos algoritmos. Sob a égide de interpretações um tanto enviesadas da concepção racionalista de ciência e do significado do formalismo na evolução do pensamento matemático, toma o modelo formal euclidiano como método de ensino e exagera no simbolismo precoce. É a Matemática de interesse do matemático de profissão, ciência fechada em si mesma concretiza-se uma visão parcial de ciência em que os modelos interpretativos do mundo abdicam da visão de mundo do sujeito que aprende.

 Por certo, pensar a Matemática na escola como um processo de formação de conceitos exige repensar o papel do professor, as condições de viabilização do trabalho pedagógico, a maneira de pensar, de sentir e de agir em Educação, o momento histórico e as características e o interesse da clientela. Trata-se de tarefa cujo movimento gira em torno do envolvimento de toda a comunidade escolar; particularmente, relaciona-se ao processo de conscientização do professor para a necessidade de uma nova postura frente ao aluno. Nosso estudo aponta para a necessidade de rupturas no sentido de pensá-la como instrumento para coordenar idéias, para dar consistência a argumentos e fomentar dúvidas.

 Trata-se de construção lenta, resultante de compromisso com os alunos. Numa análise mais crítica, poderíamos afirmar que o principal dividendo conquistado pelo projeto foi tornar consensual esse modo de pensar, o que também não é pouco; mas as bases e as condições para continuidade do trabalho pedagógico nesta direção estão postas e solidificadas. Configura postura teórico-metodológica que requer do professor o questionamento de certas concepções pedagógicas historicamente difundidas no cotidiano da escola e à concepção que se tem do conhecimento.

Do esforço de decisão, compromisso e ação depende a ocorrência de situações favoráveis à realização do indivíduo, professor ou aluno, pela força das relações interpessoais. É pela reflexão sobre o fazer pedagógico que aspectos do movimento renovador fluirão sobre a égide do debate e do confronto de idéias. Implementar a proposta de trabalho pedagógico importa em reeducar o docente, tornando-o co-responsável pela elaboração dos programas e pela renovação da metodologia de ensino de Matemática. Uma crítica da situação do ensino de Matemática na escola básica com vistas à melhoria do presente estado de conhecimento passa pelos questionamentos sobre como pode o aluno desenvolver o pensamento analítico ou raciocínio lógico.

Desse modo, é uma ação que visa definir as linhas gerais de um processo de construção do conhecimento matemático, descrevendo e explicando os fenômenos relativos às relações entre ensino e aprendizagem. Consiste numa ação pedagógica que vê a aprendizagem matemática como um processo que vai além do âmbito escolar e no qual a intervenção do aluno exerce papel determinante; vale dizer, há um uso social inerente ao conhecimento matemático e que alguns conhecimentos matemáticos são construídos pelas crianças a partir de sua experiência social.

 Constitui um passo importante nessa direção a clareza do educador de que o aluno desenvolve o raciocínio agindo e refletindo sobre a realidade que o cerca, isto é, usando ativamente as informações de que dispõe. Por isso, as ações de formação docente em serviço devem se consolidar em termos dos princípios norteadores das reformas curriculares em vigor, situando-as no âmbito das conquistas da pesquisa em Educação Matemática, de seleção de materiais didáticos, no auxílio ao preparo das aulas, no seu acompanhamento e avaliação.

 É pela problematização da prática pedagógica, a partir das representações dos interlocutores envolvidos no trabalho nas escolas que se logrará o levantamento diagnóstico para um melhor encaminhamento da ação técnico - pedagógica na escola.

A Resolução de Problemas como Articulação da Formação de Idéias Matemáticas

Trata-se do aspecto central das reorganizações curriculares recentes, historicamente abordado de forma muito superficial na escola, via de regra, como aplicação e treino de procedimentos algorítmicos para a formalização das operações. A preocupação com a contextualização do fato matemático exige pensar no encaminhamento de um trabalho pedagógico em que a ação preceda a operação de tal modo que a matematização de situações-problema postos pelo cotidiano se mostra relevante.

Em última instância, o problema é que justifica a necessidade da operação; é sempre uma situação-problema que precisa ser solucionada a geradora de um tratamento matemático capaz de equacioná-la. Via de regra, o tema da resolução de problemas tem sido tratado como compartimento estanque dos programas, consolidando aplicação de definições matemáticas calcada em modelos imitativo -repetitivos e em procedimentos algorítmicos (técnicas operatórias). Por certo, uma situação pode ser um problema para uma pessoa e não para outra, face ao nível de envolvimento de cada uma, dos aspectos sócio - culturais envolvidos, da experiência e do conhecimento relacionados àquela situação.

Geralmente constatamos que a resolução de problemas é tratada na escola, de forma geral, de modo desmotivador, como um conjunto de exercícios de fixação/aplicação. Nesse modo de agir, a tarefa do aluno geralmente se resume em “descobrir” a conta, fórmula ou procedimento algorítmico para a solução. Perde-se com isso o aspecto lúdico que um problema pode assumir quando é encarado como um desafio.

 Perde-se, ainda, a possibilidade de matematização de situações práticas do cotidiano, aspecto fundamental da inserção das pessoas no processo formal de escolarização, além do que, negligencia o fato de que a ação precede a operação, assertiva fundamental de um processo de ensino voltado para a formação dos conceitos em Matemática. A História da Matemática é rica em registros de situações práticas que mostram o problema como elemento desencadeador da necessidade dos conceitos matemáticos. No entanto, na abordagem tradicional, ao introduzir uma operação ou conceito novo, o ritual passa pela apresentação do conceito, das propriedades, do algoritmo a eles relativo para, ao final, propor uma série de problemas para ilustrar a operação, a fórmula ou o procedimento matemático que está sendo trabalhado.

 Tendo lido e resolvido alguns poucos problemas, o sujeito já percebe que não precisa mais analisar os outros enunciados e por em prática uma esquema criativo de resolução: basta retirar os números do texto e usar a fórmula ou procedimento algorítmico. Se mudarmos um aspecto mínimo do problema, as crianças já não conseguem resolvê-lo. Por extensão, a temática da resolução de problemas envolve aportes lingüísticos, psicológicos, conceituais esócio - culturais dos indivíduos, cabendo ao professor criar um ambiente de descoberta para aprender no qual não hesite em experimentar, levantar hipóteses e testá-las, mesmo correndo o risco de cometer engano.

 Deve envolver muito mais do que a aplicação de fórmulas e procedimentos algorítmicos, devendo estar voltada para o desenvolvimento do aluno, capacitando-o para analisar o grande volume de informações, para que possa selecionar aqueles que serão mais úteis no seu fazer cotidiano. Assim, a temática da resolução de problemas perpassa todo o conteúdo programático bem como permite relacionamento com as demais áreas do conhecimento, viabilizando o tratamento transdisciplinar de toda a ação pedagógica.

A preocupação dos professores pode ser analisada a partir do próprio entendimento que se tem do que vem a ser um problema e das diferentes concepções sobre a tarefa da resolução de problemas. Uma primeira concepção de resolução de problemas diz respeito à idéia de que se ensina Matemática para resolver problemas, isto é, de forma simplificada, ela constitui o alvo, a meta no ensino de Matemática.

 Daí, a tendência dos currículos tradicionais em reforçarem a necessidade de o aluno possuir previamente todas as informações e os conceitos envolvidos para depois enfrentar a resolução de problemas. Uma segunda concepção de resolução de problemas toma-a como processo , isto é, centra o enfoque nos procedimentos usados pelos alunos para chegar à resposta, enquanto esta perde a sua importância; trata-se de aplicar conhecimentos previamente adquiridos a situações novas, âmago do clássico problema da transferência . Tomada como habilidadebásica , a resolução de problemas é compreendida como uma competência para que o indivíduo possa inserir-se no mundo do conhecimento.

 O movimento de reorientação curricular compreende a resolução de problemas como uma perspectiva metodológica para o ensino de Matemática, vendo-a como um conjunto de estratégias para o ensino e para a aprendizagem. Por fim, a preocupação de organizar o ensino de forma a envolver mais que aspectos metodológicos, incluindo uma postura frente ao que é ensinar, ao que significa aprender e, conseqüentemente, à necessidade de “aprender a aprender” conduz à noção da perspectiva metodológica da resolução de problemas.

Destaca-se a noção de situação-problema e ampliando o conceito traz à tona, além da discussão sobre os problemas convencionais, o tratamento dos problemas que não têm solução evidente, os não - convencionais, os quais exigem que o sujeito combine os seus conhecimentos e decida pelas estratégias de solução.

 Evidencia-se a preocupação de conduzir o aluno a raciocinar criativamente , aspecto relegado a segundo plano nas formas mais usuais de tratamento do fato matemático como revela a preocupação de uma professora cujo discurso nos conduziu a essa análise: Eles não se interessam, têm preguiça de pensar. Mal coloco o problema na lousa e eles já perguntam qual é a conta. É de mais? É de menos? Na verdade, muito do que se denomina problema na escola deveria ser chamado de exercício de fixação; daí atribuir-se a condição de problema convencional, dado o seu caráter de imitação e repetição de técnicas operatórias, ressalvando-se que também desempenham um papel na aprendizagem matemática.

Dessa forma, coloca-se a necessidade da exploração desses problemas ditos não - convencionais porque desenvolvem no aluno a capacidade de planejar, elaborar estratégias de compreensão do problema, testar soluções, avaliando o raciocínio posto em prática e os resultados encontrados. É esse processo contínuo de abordagem e descrição do problema, proposta de uma solução e teste de solução (verificação) de enorme valor pedagógico porque incorpora etapas do procedimento científico; através dele é que se viabilizam para a criança a possibilidade de formular conceitos através da análise dos seus próprios erros.

Note-se, o que é de fundamental importância, o fato de que o tema da resolução de problemas, como já afirmamos, perpassa todos os temas de Matemática bem como de outras ciências e propicia a integração entre os temas da Matemática e destes com as demais áreas do conhecimento. A ludicidade como recurso pedagógico em matemática a despeito da variedade de fatores intervenientes no bom andamento de uma aula de Matemática, incluindo aí os ditos fatores extra-escolares, o fato é que ainda carece de reflexão a forma de administração do espaço da sala de aula para darmos conta do que é o seu fazer específico.

 Uma das ações que podem ser desenvolvidas na tentativa da superação do problema do suposto desinteresse dos alunos diz respeito aos jogos, criando-se um instrumental lúdico para favorecer a aprendizagem de conteúdos matemáticos, principalmente para crianças com dificuldades de aprendizagem. O jogo e as atividades lúdicas constituem ações fundamentais para o incremento da formação de conceitos em Matemática. Fazem parte do cotidiano e favorecem o desenvolvimento da autonomia moral.

O jogo respalda o propósito de desenvolvimento das teses colocadas pela orientação curricular em vigor em função da constatação, já nos primeiros momentos de implementação do projeto, das dificuldades dos professores para atuar junto aos alunos face à indisciplina e o baixo rendimento, apontadas pelo grupo como uma queixa geral, constatadas pelos bolsistas do projeto e pela unanimidade dos relatórios de observação de estagiários no início do projeto. Registramos, ainda, diversos depoimentos de professores no sentido da desatenção dos alunos quase inviabilizando o trabalho pedagógico na escola.

 Essa discussão passa pela fundamentação teórica que sustenta o papel do jogo na aprendizagem matemática e pela elaboração de materiais alternativos tais como dominós para trabalhar as operações, a noção de fração e o conceito de divisibilidade, baralho para fixação dos fatos fundamentais das operações matemáticas, o jogo da memória e o jogo “caça - palavras” para fixação da nomenclatura dos sólidos e figuras geométricas, além do tradicional jogo “equipe X equipe”. São atividades que envolvem os alunos e constituem momentos intensos de aprendizagem interativa.

O jogo exige a capacidade de atuar sozinho e em grupo, obedecendo a regras, reagindo a estímulos próprios da ação. Como o jogo implica em ação, a criança passa por uma etapa de envolvimento, adaptação e reconhecimento bem como do desenvolvimento paulatino do trabalho cooperativo tão importante para a ação educativa. Além disso, é um tema que perpassa todo o programa de Matemática na escolarização inicial.

 Cabe ao educador atenção para solicitar da criança respostas que já é capaz de apresentar, proporcionar à criança situações que exigem refletir e propor soluções aos problemas que lhe são apresentados. O jogo favorece a aprendizagem redimensionando a questão do erro, a exploração e a solução de problemas; daí que provoca o desenvolvimento, dinamizando o processo de ensino, equilibrando-o, desequilibrando-o e permitindo o avanço.

 Na situação de jogo devem estar sempre presentes três dimensões pedagógicas: uma situação-problema, um resultado e um conjunto de regras determinando os limites dentro dos quais a ação a ser desenvolvida pode ser considerada como válida. A análise das jogadas favorece a compreensão dos motivos que conduziram a criança ao erro. Ao jogar com outros, ao analisar jogadas, ela se confrontará com situações diferentes e até antagônicas com as que propôs, tendo oportunidade de refazer a trajetória percorrida. A exploração da relação espaço - forma informações que são geradas e percebidas pela exploração do espaço ao seu redor. Quando aborda a relação espaço - forma na escola já cumpriu, sem exagero, importante etapa do desenvolvimento cognitivo que sempre tem, inicialmente, para ela, criança, caráter essencialmente espacial.

De forma contraditória, vivencia um vasto arco de relações que partem de conceitos específicos (ponto, reta, plano) que se mostram um tanto distantes daquilo que já conhece. O trabalho da escola desconsidera que essas relações têm caráter eminentemente intuitivo e envereda pelos caminhos da formulação analítica: O pensamento intuitivo, o treinamento dos palpites, é um aspecto muito desprezado e essencial do pensamento produtivo, não apenas nas disciplinas acadêmicas formais, como na vida quotidiana. A adivinhação sagaz, a hipótese fértil, o salto arrojado para uma conclusão tentativa - essa é a moeda mais valiosa do pensador em ação, qualquer que seja o seu campo.

Poderá levar a criança em idade escolar a conquistar esse dom? (BRUNER, 1978, p. 12). Parte-se na escola, do específico para o geral, da geometria plana para a espacial; no entanto, na vida cotidiana a criança primeiramente convive com o que é geral, relações espaciais, para depois interessar-se pelas noções de geometria plana.

Primeiramente a criança faz explorações sensoriais para progressivamente construir as formas de representação desse mundo: imagens, desenhos, linguagem verbal. Essa suposta capacidade espacial refere-se a transformar objetos em seu meio e orientar-se em meio a um mundo de objetos no espaço. Relacionadas a essa competência de ser, ler e estar no espaço, temos as capacidades de perceber o mundo visual, efetuar transformações sobre as percepções iniciais e somos recriar aspectos da experiência visual mesmo na ausência de estímulos físico.

Assim, conhecendo seu próprio espaço e desenvolvendo a capacidade de ler esse espaço, o sujeito apodera-se de ferramenta útil ao pensamento para captar informações, para formular e resolver problemas. Isso posto, o estudo da Geometria na escola deve propiciar aos alunos a possibilidade de relacionar a matemática ao desenvolvimento da competência espacial que cumpre três etapas essenciais: espaço vivido (espaço físico vivenciado pelo deslocamento e exploração física), espaço percebido (para lembrar-se dele, a criança já não precisa explorá-lo fisicamente) e espaço concebido (estabelecimento de relações espaciais pelas suas representações: figuras, plantas, mapas, diagramas, etc.).

O Processo de Construção das Operações Matemáticas Elementares.

Historicamente, a preocupação fundamental no trabalho pedagógico em Matemática nas séries iniciais tem se constituído em disponibilizar aos alunos o acesso aos instrumentos de cálculo elementar, isto é, as quatro operações fundamentais.

À parte o fato de que essa ação procedimental é discutível porque acaba quase abdicando de outras ações importantes como o estudo do espaço em seus aspectos quantitativos e da organização e tratamento da informação é possível indicar ainda, no fazer cotidiano das escolas, lacunas no processo ensino - aprendizagem que precisam ser preenchidas com urgência. Sabe-se que tradicionalmente esses conteúdos são tratados como compartimentos estanques, desligados de situações-problema, configurando cálculos cuja elaboração mental se resume em exigir do aluno o domínio de técnicas operatórias pautadas por memorização.

Há que se apontar para um quadro de carência praticamente generalizado no contexto educacional brasileiro: a necessidade de se repensar a educação matemática no sentido de uma orientação pedagógica que possa conduzir o aluno para uma assimilação compreensiva dos conceitos fundamentais e de uma contextualização da aprendizagem matemática. Trata-se de desmistificar a idéia de que passar conteúdo para o aluno é o único papel da escola o que conduz o aluno a uma ação mecânica, estática e enfadonha. Numa perspectiva de formação de conceitos, a noção de operação deve ser tratada sob uma óptica dinâmica, mediada pela ação do sujeito, de forma a contemplar os princípios que regem o seu desenvolvimento cognitivo.

 Nesse pressuposto, a gênese, integração e diferenciação entre significado (número e operações) e significante (símbolos e notação dos elementos operantes) têm reflexos decisivos na vida escolar das crianças. Trata-se de fato verificável quando em etapas mais avançadas do ensino apresentam graves deficiências de aprendizagem matemática, decorrentes da idéia imprecisa do que seja operação, defasagem rotulada pela maioria do professores, como falta de pré-requisitos.

 A construção dos conceitos relativos às operações assenta suas bases na coordenação geral das ações do sujeito do conhecimento, reconstruída em diferentes níveis, no curso do desenvolvimento, cujo fechamento ocorre no período da adolescência. Isso posto, a epistemologia que se logra deduzir da contribuição de teóricos como Piaget, Vygotsky e seguidores permite pensar a elaboração do conhecimento como algo que se reconstrói em diferentes níveis.

O sujeito cognoscente em seus aspectos cognitivo (sujeito epistêmico) e afetivo (sujeito psicológico) atuam em consonância, como dois pólos de uma mesma realidade. O aspecto afetivo regula o cognitivo e vice-versa, com o sujeito interagindo com o meio físico e social, construindo, ao mesmo tempo, seu mundo interior e exterior. Daí, a importância da contextualização do fazer matemático, forma de se sustentar um processo de aprendizagem significativa. Esta postura pedagógica implica em considerar que reconstruir um fato matemático relaciona-se também à capacidade de utilização das diferentes formas de linguagem para apreender significados e transformá-los para construção de novas aprendizagens que, por sua vez, podem se configurar em diferentes formas de expressão e novos questionamentos sobre esses mesmos significados.

Como exemplo, a competência para a resolução de problemas envolve a compreensão de uma situação que exige a resolução, a identificação de dados, a mobilização de outros conhecimentos, a elaboração de estratégias, a organização da informação, o teste de validade da resposta e a formulação de outras situações-problema.

 Dentre as ações nessa direção, cumpre desmistificar a questão, sempre polêmica, da utilização de material concreto para o ensino das operações matemáticas. No discurso pedagógico atual, ora superestima-se a funcionalidade desses materiais na compreensão dos conceitos matemáticos, ora alega-se que o fato matemático é abstrato, lógico e formal e envereda-se por caminhos excessivamente formalizados. O fato é que para a criança é sempre importante criar situações que lhes permitam visualizar os fatos fundamentais dasoperações,levantar hipóteses, testá-las, poder voltar atrás e refazer a trajetória, o que não é possível quando se pauta apenas em raciocínios simbólicos e formais.

Do mesmo modo, cumpre alertar para o fato de que o sujeito não retira do material concreto o fato matemático que se concretiza sempre como raciocínio logicamente encadeado, abstrato e formalizável, portanto. Trata-se de uma mediação que sustenta a evolução do nível concreto para o simbólico, transição do pensamento por etapas tão próximas que muitas vezes se fundem e nos surpreendem pelos avanços nas atitudes e posturas tanto dos alunos quanto de professores.

 É interessante notar, apenas como um exemplo, o envolvimento de professores e alunos com fatos corriqueiros como efetuar a subtração 1.000 – 273 usando material concreto de base dez (confeccionado pelo próprio grupo em fichas de papelão ou cartolina ou usando material dourado). Sem o apoio nesse recurso pedagógico, as crianças são expostas a complexas e intermináveis ações de “emprestar”, quase sempre não compreendidas.

O uso do material concreto permite visualizar a operação e mesmo voltar a estágios anteriores de raciocínio, o que se revela de difícil consecução apenas pelo cálculo abstrato. Registremos ainda, outras Implicações teóricas relativas ao trabalho com as operações. Para que enfatizar apenas a famigerada “técnica de emprestar” se podemos quase sempre abdicarmo-nos dela com raciocínios simples como indicamos a seguir? “D evo efetuar 1.000 – 273; reservo 1 unidade do 1.000 e faço 999 – 273 o que resulta em 726. Com o 1 reservado, tenho o resultado 727”. O incentivo ao raciocínio criativo, ao cálculo mental e ao desenvolvimento da capacidade de estimativa é que conduzirá a uma situação de aprendizagem matemática duradoura, instigante e prazerosa.

O advento dessa situação pedagógica é que não permitirá presenciar em sala de aula cálculos com resultados absurdos, onde se percebe que a criança não tem a menor compreensão dos fatos matemáticos envolvidos. O problema é que, tendo dificuldades para vê-la como coisa em construção e para a implementação dessas ações em sala de aula.

É uma mudança de atitude e postura que demanda tempo e formação contínua. Parece consensual a necessidade de que no ensino fundamental a ação desenvolvida no ensino da Matemática evolua do observável, do concreto, do empírico e do manipulável para o simbólico, para o abstrato e para o formal. Essas instâncias do conhecimento não são excludentes, pelo contrário, elas se complementam. Trata-se de uma discussão que exige muita reflexão para que possa de fato alterar o cotidiano da sala de aula de Matemática.

Desenvolvimento e Aprendizagem: Implicações para o Trabalho na Sala de Aula

A tese da educação como valor universal coloca a discussão sobre difusão do conhecimento matemático como um pêndulo que oscila entre o objetivismo e o subjetivismo. Assim, há momentos em que se nota ênfase nos fatores externos ao desenvolvimento e à aprendizagem; noutros, os determinantes da relação são fatores internos e há aqueles momentos em que se nota uma tendência a aceitar a idéia de dissociação entre desenvolvimento e aprendizagem.

 Essa dicotomia entre desenvolvimento e aprendizagem traz conseqüências para a organização dos programas de ensino. De fato, o conhecimento matemático não se consolida como um rol de idéias prontas a ser memorizado; muito além disso, um processo significativo de ensino de Matemática deve conduzir os alunos à exploração de uma variedade de idéias e de estabelecimento de relações entre conceitos de modo a incorporar os contextos do mundo real, as experiências e o modo natural de envolvimento para o desenvolvimento das noções matemáticas com vistas à aquisição de diferentes formas de percepção da realidade. Mas ainda é preciso avançar no sentido de conduzir as crianças a perceberem a evolução das idéias matemáticas, ampliando a compreensão que delas se tem.

Isso posto, a tese da educação como valor universal questiona o inatismo que justifica as diferenças individuais com determinantes biológicos e tenta demonstrá-lo mediante testes de inteligência, de aptidão, de prontidão, etc. Noutro sentido, ao buscar a compreensão do crescimento dos indivíduos, a discussão tende a deslocar o pêndulo para o espectro da tese ambientalista que encontra na família, no ambiente social e na cultura os fatores determinantes do desenvolvimento humano.

 A dicotomia apontada traz conseqüências metodológicas que oscilam entre tentativas de compreensão de “como se ensina” ou de “como os alunos aprendem” Matemática. Nesse estudo, pautamos nossa compreensão no sentido da indissociabilidade entre desenvolvimento e aprendizagem posto que (...) o aprendizado não é desenvolvimento; entretanto, o aprendizado adequadamente organizado resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma, seriam impossíveis de acontecer.

Assim, o aprendizado é um aspecto necessário e universal do processo de desenvolvimento das funções psicológicas culturalmente organizadas e especificamente humanas. (VYGOTSKY, 1989, p. 101). Ainda que constituam conceitos distintos, desenvolvimento e aprendizagem são profundamente interdependentes. Essa articulação vem sendo discutida desde o início do século XX e ainda assim é possível notar nas tentativas de reformas curriculares, artigos e propostas de cursos um conjunto de idéias que indicam a presença dessa dificuldade de mudança conceitual. Não atentar para a relação entre desenvolvimento e aprendizagem traz conseqüências para a prática pedagógica e para a forma de organização curricular. Não permite perceber que o processo de conhecimento não é linear nem progressivo.

 A experiência escolar com a ciência matemática é uma ação que vem se somar ao fazer do indivíduo, isto é, insere-se em um processo de desenvolvimento que se iniciou antes da escolarização de modo que o sujeito já detém certas formas de atividade matemática e já faz uso tanto de sistemas expressivos como simbólicos. Como exemplo, considere-se que diversos experimentos desenvolvidos por Vygotsky demonstraram, dentre outras coisas que, para as crianças, falar é tão importante como atuar quando se propõem uma meta; além disso, quanto mais complexa é a experiência e menos direta sua solução, mais importante resulta a linguagem na realização da operação.

 Por conseqüência, o desenvolvimento das habilidades lingüísticas deveria se realizar em conjunto com as atividades matemáticas o que traria conseqüências para o planejamento das ações nas escolas. Isso posto, registre-se as contradições de se organizar classes de reforço de séries iniciais pautados apenas na busca de compreensão dos processos de leitura e escrita, como se o fato matemático não se caracterizasse como dimensão fundamental da linguagem, sem o qual o processo de alfabetização simplesmente não se consolidaria. Para além das dimensões científica e tecnológica, a Matemática se consolida como componente da cultura geral do cidadão que pode ser observada na linguagem corrente, na imprensa, nas leis, na propaganda, nos jogos, nas brincadeiras e em muitas outras situações do cotidiano.

Resumidamente, a discussão sobre o problema da formação de conceitos matemáticos deve considerar como teses centrais da ação na situação de ensino e de aprendizagem as perspectivas de:

 a) Contextualização : consideração no trabalho pedagógico com Matemática dos aportes socioculturais do alunado para se considerar na escola situações vivenciadas pelos alunos fora dela, o que se poderia denominar de matemática cultural, isto é, as diversas formas de matematização desenvolvidas pelos diversos grupos sociais, de modo a permitir a interação entre essas duas formas de pensamento matemático.

 b) Historicização : mostrar aos alunos a forma como as idéias matemáticas evoluem e se complementam formando um todo orgânico e flexível, é pressuposto básico para se compreender a Matemática como um processo de construção.

 c) Enredamento: organização das idéias matemáticas em articulação com as diversas áreas do conhecimento posto que elas não surgem do nada; pelo contrário, muitas idéias matemáticas nem surgiram em contextos exclusivamente matemáticos. Talvez a principal implicação de uma proposta de formação de conceitos em Matemática seja a compreensão do educador como mediador do processo de construção do conhecimento, criando situações pedagógicas para que a criança exercite a capacidade de buscar soluções para os problemas apresentados.

Através de ações sobre os objetos, descobrindo relações, estruturando o seu pensamento lógico, especialmente no que respeita às noções de quantidade e medida e exploração sensorial do mundo físico, é que a criança logrará condições para evolução da representação simbólica da Matemática. A preocupação em discutir as diretrizes de um processo de ensino de Matemática situado na perspectiva da formação de conceitos impõe considerar a dinâmica de trabalho desenvolvida por professores e alunos bem como indicar os princípios metodológicos norteadores dessa ação.

 A formação de conceitos e as dificuldades para inovações curriculares As idéias de contextualizar, historicizar e enredar, teses centrais de um processo de formação de conceitos matemáticos, se mostram presentes, embora de maneira pouco explícita, nas tentativas de renovação do ensino da Matemática no contexto brasileiro. A dificuldade na implantação das reformas curriculares é um problema crônico do sistema de ensino em todos os níveis por serem tomadas como decisões centralizadas, sem a participação mais efetiva dos professores. Todos os diagnósticos sobre o ensino de Matemática apontam para dificuldades de compreensão das diretrizes emanadas das recentes tentativas de reformas curriculares. Dentre essas dificuldades, cumpre destacar:

 a) conhecimento parcial das teses da reforma curricular e das diretrizes pedagógicas emanadas dos PCN de Matemática pelo conjunto dos professores;

 b) desenvolvimento parcial das diretrizes curriculares, via de regra, adequando-se os programas de Matemática tal como propõe a reorganização curricular, mas apontando dificuldades para a veiculação do conteúdo na forma metodológica indicada;

 c) os professores consideram a metodologia e a seleção dos conteúdos como adequadas, embora apontem dificuldades para suas veiculações na sala de aula de forma sistemática;

 d) organização linear dos programas e dificuldade para perceber o currículo como um todo organizado sistematicamente, mas de forma flexível;

 e) a linguagem utilizada nos documentos dificulta a compreensão das questões pedagógicas relevantes envolvidas e, até mesmo, a sua leitura ;

 f) a falta de apoio técnico-pedagógico, o tempo restrito para o preparo das aulas e a participação tímida dos professores na elaboração das propostas curriculares como entraves para divulgação de suas teses e para a implementação das diretrizes apontadas;

 g) condicionamento da implementação prática das reformas curriculares de Matemática à orientação técnico - pedagógica adequada;

 h) dificuldades para o estabelecimento de relações entre o proposto na reforma curricular paulista (1986) e as disposições contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais. BRUNER (1978) considera que o ensino e a aprendizagem da estrutura, mais do que o simples domínio de fatos e técnicas, está no centro do clássico problema da transferência, isto é, se o sujeito conhece uma situação-problema A e se vê diante de uma situação-problema B que guarda relação direta com a primeira, só haverá aprendizagem de fato se ele consegue dar esse salto qualitativo no sentido de tirar conclusões que não estavam explícitas naquela.

 Já se apresenta como consensual o fato de vivermos um tempo no qual a pressão social sobre a escola é acentuada no sentido de que a formação de nossos alunos cuide do desenvolvimento de um número considerável de habilidades de pensamento, indo muito além dos conhecimentos específicos e dos procedimentos. Essa mudança de atitude na escola exige romper paulatinamente com um fazer pedagógico centrado excessivamente na figura do professor.

Reveste-se de relevância à medida em que todas as pesquisas sobre o cotidiano da escola apontam para a força das relações interpessoais na concretização das inovações curriculares. A pesquisa em Educação Matemática já definiu que ao organizar as idéias matemáticas exclusivamente segundo o critério da precedência lógica, característica decorrente das influências daquele modelo formal, o fazer pedagógico tradicional na escola desconsidera todos os demais aspectos psicológicos, sócio - econômicos e culturais envolvidos na criação matemática.

 O aluno, quando interpreta dados e informações, o faz dentro de um referencial cujo aspecto mais fundamental é o histórico de suas experiências anteriores. A dissociação entre a forma e o conteúdo do ensino de Matemática não permite aos alunos apreender a estrutura de um assunto; apreender tal estrutura significa aprender como as coisas se relacionam. Pensar em aprendizagem significativa implica assumir o fato de que aprender pressupõe uma ação de caráter dinâmico, o que requer ações de ensino direcionadas para que os alunos aprofundem e ampliem os significados que elaboram mediante seus envolvimentos em atividades de aprendizagem.

Daí que o mais importante no ensino de conceitos básicos é ajudar a criança a passar progressivamente do pensamento concreto à utilização de modos de pensamento conceptualmente mais adequados. É ocioso, porém, tentar fazê-lo pela apresentação de explicações formais, baseadas numa lógica muito distante da maneira de pensar da criança e, para ela, estéril em suas implicações.

(BRUNER, 1978, p. 36). Por isso, o uso dos recursos da comunicação nas aulas de Matemática justifica-se porque ao comunicar idéias e maneiras de agir, os alunos precisam refletir sobre o que fizeram ou pensaram, construir esquemas mais elaborados de pensamento, organizar pensamentos e ações, para avançar com competência no processo de conhecimento.

 Além do exposto, as habilidades relacionadas à comunicação, como falar, ler, escrever, desenhar e as habilidades relacionadas ao fazer matemático podem desenvolver-se uma auxiliando a outra, uma como alternativa de acesso à outra, em processo dialético de complementaridade.

Isso posto, em função dessas premissas concernentes à articulação entre teoria e prática em ensino de Matemática, analisamos, a seguir, alguns aspectos específicos dos programas dessa área do conhecimento cujo desenvolvimento implica na consideração de ações pedagógicas fundamentais para uma mudança de postura nas práticas escolares no contexto do processo ensino – aprendizagem da Matemática.